剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

方法一：递归法

根据定义时去进行递归。

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

直接递归在 $N$ 比较大的时候，运算会特别慢，甚至崩溃。

方法二：动态规划

因为斐波那契数列中 $F(N)$ 等于前两个数字相加($N>1$)，而且本题不需要列出 $N$ 以前的所有数字，所以可以用两个数字记录某个数字的前两位，不断迭代相加。

代码：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        int a = 0;
        int b = 1;
        int sum = 0;
        while (--n > 0) {
            sum = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return sum;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度$O(N)$：计算 $f(N)$ 需要循环 $N$ 次，每轮的操作是 $O(1)$。

• 空间复杂度$O(1)$：几个标志变量占用常用大小的空间。